Fórmula de Gauss: área de polígono pelas coordenadas

A fórmula de Gauss calcula a área de um polígono usando apenas as coordenadas X e Y dos seus vértices. Também chamada de método das coordenadas, ela evita medir diagonais ou dividir a figura em triângulos: basta ter a lista de vértices na ordem do caminhamento.

Como funciona o cálculo

O primeiro passo é listar os vértices na ordem em que aparecem no polígono. Segundo o material do IME/Unicamp sobre cálculo de área poligonal, é preciso criar um ponto extra ao final da lista, repetindo as coordenadas do primeiro vértice. Isso fecha o polígono para o cálculo.

Com a lista pronta, o cálculo segue em dois momentos. Primeiro, multiplica-se o X de cada ponto pelo Y do ponto seguinte, somando todos os resultados. Depois, inverte-se a operação: multiplica-se o Y de cada ponto pelo X do seguinte, somando de novo. A área sai da diferença entre essas duas somas, dividida por dois.

Por que usar o valor em módulo

O resultado dessa conta pode vir negativo, e isso não é erro de conta. Conforme o material de cartografia do Departamento de Geomática da UFPR, pontos ordenados no sentido horário produzem área positiva, e no sentido anti-horário o sinal inverte. Por isso o valor final é tomado em módulo: o que importa é a área, não o sinal que o sentido do caminhamento gerou.

A área no georreferenciamento rural

Para imóveis rurais, o sistema de coordenadas usado na conta não é qualquer um. A Norma Técnica para Georreferenciamento de Imóveis Rurais do INCRA estabelece que o cálculo de área deve ser feito com as coordenadas referenciadas ao Sistema Geodésico Local, o SGL. O Manual Técnico de Posicionamento do INCRA reforça esse ponto: a área é obtida a partir de coordenadas cartesianas locais, também referenciadas ao SGL.

Isso significa que, antes de aplicar a fórmula de Gauss num processo de certificação, os vértices precisam estar nesse referencial, e não em qualquer sistema de projeção.

Saber aplicar esse método evita depender de conferência manual com trena ou de softwares fechados: com a lista de coordenadas em mãos, qualquer profissional confere a área do imóvel por conta própria, inclusive para bater um orçamento ou validar um memorial antes de entregar ao cliente.